Родился 12 сентября 1886 г. в местечке Аббас-Тумани Ахалцихского уезда Тифлисской губернии. Свою трудовую деятельность М.А. Капелюшников начал в 1914 г. конструктором технического отдела нефтепромышленной фирмы «Бакинское общество русской нефти» (БОРН). В 1915-1918 гг. работал конструктором буровых станков и механиком нефтеперегонного завода К.В. Быховского, затем – на заводе «Каспийского товарищества», в 1920-1924 гг. был членом коллегии управления нефтеперегонными заводами третьей группы треста Азнефть в Баку, в 1923-1933 гг. работал заместителем начальника технического бюро объединения Азнефть, в 1933-1936 гг. был директором Азербайджанского научно-исследовательского института (АзНИИ) им. В.В. Куйбышева, в 1937-1959 гг. заведовал лабораторией физики нефтяного пласта Института нефти АН СССР. С 1945 г. являлся профессором кафедры бурения Московского нефтяного института им. Губкина. М.А. Капелюшников награжден двумя орденами В.И. Ленина, тремя орденами Трудового Красного Знамени, орденом Отечественной войны I степени, получил звания Героя Социалистического труда и заслуженного деятеля науки и техники. С 25 января 1939 г. был членом-корреспондентом АН СССР (отделение технических наук, горное дело).

Научная деятельность Капелюшникова М.А. связана с техникой и технологией нефтедобывающей и нефтеперерабатывающей отраслей промышленности, интенсивно развивавшихся в период становления Советской власти и особенно в послевоенные годы. Основным изобретением, принесшим М.А. Капелюшникову известность, является турбобур – гидравлический забойный двигатель для бурения скважин. Именно с «турбобура системы Капелюшникова» началась история турбинного бурения, которое по своему техническому и экономическому значению позднее стало революционным как в отечественной, так и мировой практике глубокого и сверхглубокого бурения. Приоритет изобретения турбобура был признан в Великобритании (патент от 11 марта 1925 г.) и в СССР (патент от 31 августа 1925 г.).

С марта 1992 г. в Политехническом музее формируется личный фонд Матвея Капелюшникова. Фонд насчитывает 102 единицы хранения. Значительную (68 единиц хранения) часть составляют научные труды и материалы к ним. Они представлены научными описаниями изобретений к патентам и авторским свидетельствам, чертежами устройств и схемами технологических процессов, статьями. Материалы к научным трудам представлены служебными документами и фотоматериалами. В фонде имеются фотокопии двух статей на английском языке и две статьи (подлинники) на русском языке, фотографии и служебные документы, связанные с изобретением турбобура и его апробацией в СССР и в США.

Умер М.А. Капелюшников 5 июля 1959 г. в Москве.